Ensembles finis Exemples

2 x^{2} - 12 x + 3

$2 x^{2} - 12 x + 3$

Étape 1

Interchangez les variables.

x = 2 y^{2} - 12 y + 3

$x = 2 y^{2} - 12 y + 3$

Étape 2

Résolvez

y

$y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme

2 y^{2} - 12 y + 3 = x

$2 y^{2} - 12 y + 3 = x$ .

2 y^{2} - 12 y + 3 = x

$2 y^{2} - 12 y + 3 = x$

Étape 2.2

Soustrayez

x

$x$ des deux côtés de l’équation.

2 y^{2} - 12 y + 3 - x = 0

$2 y^{2} - 12 y + 3 - x = 0$

Étape 2.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.4

Remplacez les valeurs

a = 2

$a = 2$ ,

b = - 12

$b = - 12$ et

c = 3 - x

$c = 3 - x$ dans la formule quadratique et résolvez pour

y

$y$ .

\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (3 - x))}}{2 \cdot 2}

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (3 - x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1.1

Élevez

- 12

$- 12$ à la puissance

2

$2$ .

y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.1.2

Multipliez

- 4

$- 4$ par

2

$2$ .

y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot 3 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot 3 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.1.4

Multipliez

- 8

$- 8$ par

3

$3$ .

y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.1.5

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 8

$- 8$ .

y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 + 8 x}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.1.6

Soustrayez

24

$24$ de

144

$144$ .

y = \frac{12 \pm \sqrt{120 + 8 x}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm \sqrt{120 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.1.7

Factorisez

8

$8$ à partir de

120 + 8 x

$120 + 8 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1.7.1

Factorisez

8

$8$ à partir de

120

$120$ .

y = \frac{12 \pm \sqrt{8 \cdot 15 + 8 x}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 \cdot 15 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.1.7.2

Factorisez

8

$8$ à partir de

8 \cdot 15 + 8 x

$8 \cdot 15 + 8 x$ .

y = \frac{12 \pm \sqrt{8 (15 + x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

y = \frac{12 \pm \sqrt{8 (15 + x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.1.8

Réécrivez

8 (15 + x)

$8 (15 + x)$ comme

2^{2} \cdot (2 (15 + x))

$2^{2} \cdot (2 (15 + x))$ .

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Étape 2.5.1.8.1

Factorisez

4

$4$ à partir de

8

$8$ .

y = \frac{12 \pm \sqrt{4 (2) (15 + x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm \sqrt{4 (2) (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.1.8.2

Réécrivez

4

$4$ comme

2^{2}

$2^{2}$ .

y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.1.8.3

Ajoutez des parenthèses.

y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2

Multipliez

2

$2$ par

2

$2$ .

y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$

Étape 2.5.3

Simplifiez

\frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}

$\frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$ .

y = \frac{6 \pm \sqrt{2 (15 + x)}}{2}

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

y = \frac{6 \pm \sqrt{2 (15 + x)}}{2}

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie

+

$+$ du

\pm

$\pm$ .

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Étape 2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1.1

Élevez

- 12

$- 12$ à la puissance

2

$2$ .

y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.6.1.2

Multipliez

- 4

$- 4$ par

2

$2$ .

y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot 3 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot 3 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.6.1.4

Multipliez

- 8

$- 8$ par

3

$3$ .

y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.6.1.5

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 8

$- 8$ .

y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 + 8 x}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.6.1.6

Soustrayez

24

$24$ de

144

$144$ .

y = \frac{12 \pm \sqrt{120 + 8 x}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm \sqrt{120 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.6.1.7

Factorisez

8

$8$ à partir de

120 + 8 x

$120 + 8 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1.7.1

Factorisez

8

$8$ à partir de

120

$120$ .

y = \frac{12 \pm \sqrt{8 \cdot 15 + 8 x}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 \cdot 15 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.6.1.7.2

Factorisez

8

$8$ à partir de

8 \cdot 15 + 8 x

$8 \cdot 15 + 8 x$ .

y = \frac{12 \pm \sqrt{8 (15 + x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

y = \frac{12 \pm \sqrt{8 (15 + x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.6.1.8

Réécrivez

8 (15 + x)

$8 (15 + x)$ comme

2^{2} \cdot (2 (15 + x))

$2^{2} \cdot (2 (15 + x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1.8.1

Factorisez

4

$4$ à partir de

8

$8$ .

y = \frac{12 \pm \sqrt{4 (2) (15 + x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm \sqrt{4 (2) (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.6.1.8.2

Réécrivez

4

$4$ comme

2^{2}

$2^{2}$ .

y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.6.1.8.3

Ajoutez des parenthèses.

y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.6.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.6.2

Multipliez

2

$2$ par

2

$2$ .

y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$

Étape 2.6.3

Simplifiez

\frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}

$\frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$ .

y = \frac{6 \pm \sqrt{2 (15 + x)}}{2}

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Étape 2.6.4

Remplacez le

\pm

$\pm$ par

+

$+$ .

y = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}

$y = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Étape 2.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie

$-$ du

$\pm$ .

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Étape 2.7.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1.1

Élevez

$- 12$ à la puissance

$2$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.7.1.2

Multipliez

$- 4$ par

$2$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot 3 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.7.1.4

Multipliez

$- 8$ par

$3$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.7.1.5

Multipliez

$- 1$ par

$- 8$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.7.1.6

Soustrayez

$24$ de

$144$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{120 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.7.1.7

Factorisez

$8$ à partir de

$120 + 8 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1.7.1

Factorisez

$8$ à partir de

$120$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 \cdot 15 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.7.1.7.2

Factorisez

$8$ à partir de

$8 \cdot 15 + 8 x$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.7.1.8

Réécrivez

$8 (15 + x)$ comme

$2^{2} \cdot (2 (15 + x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1.8.1

Factorisez

$4$ à partir de

$8$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{4 (2) (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.7.1.8.2

Réécrivez

$4$ comme

$2^{2}$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.7.1.8.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.7.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.7.2

Multipliez

$2$ par

$2$ .

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$

Étape 2.7.3

Simplifiez

$\frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Étape 2.7.4

Remplacez le

$\pm$ par

$-$ .

$y = \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Étape 2.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

$y = \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

$y = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

$y = \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Étape 3

Replace

$y$ with

$f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Étape 4

Vérifiez si

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ est l’inverse de

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ .

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Étape 4.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ et

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ puis comparez-les.

Étape 4.2

Déterminez la plage de

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ .

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Étape 4.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs

$y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[- 15, \infty)$

Étape 4.3

Déterminez le domaine de

$\frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ .

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Étape 4.3.1

Définissez le radicande dans

$\sqrt{2 (15 + x)}$ supérieur ou égal à

$0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$2 (15 + x) \geq 0$

Étape 4.3.2

Résolvez

$x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Divisez chaque terme dans

$2 (15 + x) \geq 0$ par

$2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1

Divisez chaque terme dans

$2 (15 + x) \geq 0$ par

$2$ .

$\frac{2 (15 + x)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Étape 4.3.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (15 + x)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Étape 4.3.2.1.2.1.2

Divisez

$15 + x$ par

$1$ .

$15 + x \geq \frac{0}{2}$

Étape 4.3.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.3.1

Divisez

$0$ par

$2$ .

$15 + x \geq 0$

Étape 4.3.2.2

Soustrayez

$15$ des deux côtés de l’inégalité.

$x \geq - 15$

Étape 4.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de

$x$ qui rendent l’expression définie.

$[- 15, \infty)$

Étape 4.4

Déterminez le domaine de

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ .

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Étape 4.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 4.5

Comme le domaine de

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ se trouve sur la plage de

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ et comme la plage de

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ est le domaine de

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ ,

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ est l’inverse de

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Étape 5