Ensembles finis Exemples

$2 x^{2} - 12 x + 3$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = 2 y^{2} - 12 y + 3$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $2 y^{2} - 12 y + 3 = x$ .

$2 y^{2} - 12 y + 3 = x$

Étape 2.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$2 y^{2} - 12 y + 3 - x = 0$

Étape 2.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.4

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = - 12$ et $c = 3 - x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (3 - x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1.1

Élevez $- 12$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot 3 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.1.4

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.1.6

Soustrayez $24$ de $144$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{120 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.1.7

Factorisez $8$ à partir de $120 + 8 x$ .

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Étape 2.5.1.7.1

Factorisez $8$ à partir de $120$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 \cdot 15 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.1.7.2

Factorisez $8$ à partir de $8 \cdot 15 + 8 x$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.1.8

Réécrivez $8 (15 + x)$ comme $2^{2} \cdot (2 (15 + x))$ .

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Étape 2.5.1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{4 (2) (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.1.8.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$

Étape 2.5.3

Simplifiez $\frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1.1

Élevez $- 12$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot 3 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.6.1.4

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.6.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.6.1.6

Soustrayez $24$ de $144$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{120 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.6.1.7

Factorisez $8$ à partir de $120 + 8 x$ .

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Étape 2.6.1.7.1

Factorisez $8$ à partir de $120$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 \cdot 15 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.6.1.7.2

Factorisez $8$ à partir de $8 \cdot 15 + 8 x$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.6.1.8

Réécrivez $8 (15 + x)$ comme $2^{2} \cdot (2 (15 + x))$ .

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Étape 2.6.1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{4 (2) (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.6.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.6.1.8.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.6.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$

Étape 2.6.3

Simplifiez $\frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Étape 2.6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Étape 2.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1.1

Élevez $- 12$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.7.1.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot 3 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.7.1.4

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.7.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.7.1.6

Soustrayez $24$ de $144$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{120 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.7.1.7

Factorisez $8$ à partir de $120 + 8 x$ .

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Étape 2.7.1.7.1

Factorisez $8$ à partir de $120$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 \cdot 15 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.7.1.7.2

Factorisez $8$ à partir de $8 \cdot 15 + 8 x$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.7.1.8

Réécrivez $8 (15 + x)$ comme $2^{2} \cdot (2 (15 + x))$ .

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Étape 2.7.1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{4 (2) (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.7.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.7.1.8.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.7.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$

Étape 2.7.3

Simplifiez $\frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Étape 2.7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Étape 2.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

$y = \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

$y = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

$y = \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ est l’inverse de $f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ .

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Étape 4.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ et $f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ puis comparez-les.

Étape 4.2

Déterminez la plage de $f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ .

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Étape 4.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[- 15, \infty)$

Étape 4.3

Déterminez le domaine de $\frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ .

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Étape 4.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{2 (15 + x)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$2 (15 + x) \geq 0$

Étape 4.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.2.1

Divisez chaque terme dans $2 (15 + x) \geq 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.3.2.1.1

Divisez chaque terme dans $2 (15 + x) \geq 0$ par $2$ .

$\frac{2 (15 + x)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Étape 4.3.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (15 + x)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Étape 4.3.2.1.2.1.2

Divisez $15 + x$ par $1$ .

$15 + x \geq \frac{0}{2}$

Étape 4.3.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.1.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$15 + x \geq 0$

Étape 4.3.2.2

Soustrayez $15$ des deux côtés de l’inégalité.

$x \geq - 15$

Étape 4.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[- 15, \infty)$

Étape 4.4

Déterminez le domaine de $f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ .

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Étape 4.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 4.5

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ se trouve sur la plage de $f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ est le domaine de $f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ , $f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ est l’inverse de $f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Étape 5